Logo Universiteit Utrecht

Bètadifferentiatie

Vanaf begin 6-vwo

Laat je (niet) afleiden Herhalend: afgeleide (of hellingsfunctie), extremen, differentiaalquotiënt.
De lichtsnelheid in water Verdiepend: toepassing differentiaalrekening, gebruik maken van meetgegevens om de po­sitie van een maximum te bepalen; het principe van Fermat van de kortste weg
De formule van Maclaurin Verrijkend: differentiaalrekening toepassen; de oneindige meetkundige reeks; functies in de vorm van machtreeks; het begrip limiet van een reeks
Numb3rs 409: Graphic Verrijkend: gebroken dimensies, fractals, Cantot-verzameling, Hausdorff-dimen­sie
Laat je (niet) afleiden

download de opdracht (pdf)

  • Herhalend: afgeleide (of hellingsfunctie), extremen, differentiaalquotiënt.
  • Voorkennis:
    • omtrek- en oppervlakteformules voor diverse figuren, de stelling van Pythagoras
    • raaklijn aan de cirkel

Deze opdracht helpt je vooral aan meer inzicht in het begrip afgeleide en de toepassin­gen, o.a. op meetkundige problemen, bij het vinden van maxima en minima. Een aanrader: goede oefening en een serie leuke problemen.

In deze opdracht oefen je in tien opgaven stevig met differentiëren. Het vervolg bevat nog enkele verrijkende opgaven. Je sluit af met een poster over wat je geleerd hebt.

terug naar boven

De lichtsnelheid in water

download de opdracht (pdf)

  • Verdiepend:
    • toepassing differentiaalrekening, gebruik maken van meetgegevens om de po­sitie van een maximum te bepalen
    • het principe van Fermat van de kortste weg
  • Voorkennis:
    • differentiëren, ook van formules met wortels
    • afstandsformule met coördinaten
    • lichtsnelheid in vacuüm en lucht

In deze opdracht bepaal je experimenteel de snelheid van het licht in water, uitgaande van de waarde van de lichtsnelheid in vacuüm. Je maakt gebruik van breking bij de overgang van water naar lucht. En van het principe van Fermat dat zegt dat licht altijd de weg kiest die het minste tijd kost. Dat maakt deze bepaling tot optimaliseringsprobleem en leidt tot een nieuwe manier waarop je differentiëren kunt gebruiken. Natuurlijk laat je je medeleerlingen aan het eind zien wat je gevonden hebt.

terug naar boven

De formule van Maclaurin

download de opdracht (pdf)

  • Verrijkend:
    • differentiaalrekening toepassen
    • de oneindige meetkundige reeks
    • functies in de vorm van machtreeks
    • het begrip limiet van een reeks
  • Voorkennis:
    • differentiëren van veeltermen en de functies sin(x), cos(x) en ex
    • rijen

Hoe kan het toch dat een rekenmachine je in no time alle wortels, waarden van sinus en cosinus (en hun inversen) logaritme en e-macht kan leveren? Zou de rekenmachine een formule gebruiken om dat allemaal uit te rekenen? Het antwoord is: ja. In deze opdracht leer je hoe die formules in elkaar steken. Een van de mogelijkheden voor de rekenmachine is de formule (of reeks) van Maclaurin.

In de reeks van Maclaurin gebruik je de waarden van de eerste, de tweede, de derde en alle verder afgeleiden in het punt 0 om de waarden van een functie in andere punten te vinden! Als afronding maak je een poster met mooie reeksen of van een fraai benaderingspro­ces. Je kunt bijvoorbeeld de reeks van Maclaurin van jouw favoriete functie aan je klasgenoten tonen!

terug naar boven

Numb3rs 409: Graphic

download de opdracht Numb3rs (pdf)

  • Verrijkend: gebroken dimensies, fractals, Cantot-verzameling, Hausdorff-dimen­sie
  • Voorkennis: rekenen met machten en logaritmen

In deze opdracht, die is gebaseerd op een aflevering van de tv-serie Numb3rs,  verken je iets bijzonder: gebroken dimen­sies en fractals. Dat gaat over objecten die niet lijnvormig zijn zoals een lijntje of een cirkelboog (1 dimensionaal) of vlak zoals een rechthoek of stukje boloppervlak (2 dimensies). Ze hebben een dimensie die daar tussen in ligt. Internet biedt veel plaatjes, maar in deze opdracht ga je zelf gebro­ken dimensies berekenen.

Tot slot maak je in een presentatie of poster medeleerlingen die nog niets weten van ‘gebroken dimensies’ kennen, nieuwsgierig naar dat verschijnsel met figuren en verklaringen.

terug naar boven