Logo Universiteit Utrecht

Bètadifferentiatie

Vanaf 5-vwo

Het raadsel van het verdwenen vierkante centimetertje verdiepend: (bijzondere) getalrijen
Goldbach’s vermoeden verrijkend: wiskunde ontdekken op plekken waar je het niet verwacht
Periodiciteit bij breuken verdiepend: periodieke decimale getallen, priemgetallen
Rakende cirkels verrijkend: construeren en redeneren in figuren
De wet van Benford verrijkend: statistiek en kans, meetkundige rij, gebruik van de logaritme, onver­wachte fenomenen en toepassingen
Extreem herhalend: differentiëren
Het raadsel van het verdwenen vierkante centimetertje

download de opdracht (pdf)

  • Verdiepend: (bijzondere) getalrijen
  • Vereiste voorkennis:
    • oppervlakte van rechthoek en driehoek
    • rekenen met verhoudingen

Deze opdracht hoort zeker tot de recreatieve wiskunde: wiskunde voor je plezier. Je start met een goocheltruc: je laat een vierkantje van 1 vierkante centime­ter verdwijnen door een figuur te verknippen. Na verleggen van de delen is het ineens weg. Wat is er dan wel aan de hand? Je leert trouwens ook vierkantjes erbij goochelen. Je taak is de trucs te verbeteren, zo­dat zelfs de meest kritische toeschouwer het bedrog niet ziet. Tijdens de opdracht kom je ook een nieuw wiskundig onderwerp tegen: de beroemde getallen van Fibonacci die ook elders in de wiskunde van belang zijn.

Als eindopdracht maak je een poster waarmee je het publiek met de goocheltoer imponeert.

terug naar boven

Goldbach’s vermoeden

download de opdracht (pdf)

  • Verrijkend: wiskunde ontdekken op plekken waar je het niet verwacht
  • Geen specifieke voorkennis vereist

Deze opdracht gaat over het boek Oom Petros en het vermoeden van Goldbach, waarin een wat buitenissige oom optreedt. Hij wordt gefascineerd door wiskunde en maakt zich druk om een onopgelost wiskundig probleem. In de opdracht onderzoek je rafelrand tus­sen fictie en waarheid over dat probleem. Je leest (stukken van) het boek en internet-reacties op het boek. Als afronding van de opdracht kun je verslag doen van je bevindingen en/of reageren op een van die internet-reacties.

terug naar boven

Periodiciteit bij breuken

download de opdracht Periodiciteit.pdf en de bijlage Periodiciteit bij breuken_xls (rechtsklik, kies ‘bewaar als’ en vervang .doc door .xls)

  • Verdiepend: periodieke decimale getallen, priemgetallen
  • Vereiste voorkennis: omrekenen van een breuk in een decimale vorm

In deze opdracht leer je dat het omzetten van een breuk naar een kommagetal maar weinig tijd kost: je hoeft alleen een begin uit te rekenen, dat zich daarna herhaalt, zoals bij 1/11 = 0,0909…..

Je vindt in deze opdracht uit hoe lang dat begin is, en hoe de lengte van de noemer van de breuk afhangt. De bouwstenen van onze getallen (de priemgetallen) heb je nodig om de verbanden te begrijpen. Daardoor verrijk je ook je kennis van de getaltheorie.

Je bevindingen presenteer je aan je docent en je medeleerlingen. Natuurlijk geef je een verklaring met paar extra mooie voorbeelden!

terug naar boven

Rakende cirkels

download de opdracht (pdf)

  • Verrijkend: construeren en redeneren in figuren
  • Voorkennis: meetkunde: cirkels, raaklijn, loodrecht stand; sinus: waarden voor ‘bekende’ hoeken als 30° en 60°.

Op de computer kun je met het programma Geogebra spelen met cirkels. Je wordt gevraagd hoe je bepaalde situaties met cirkels kunt maken. Dat kun je eerst met ‘trial and error’ doen, maar in tweede instantie moet je er bij redeneren. Dat geeft de opdracht een onderzoekend karakter waardoor je verder kunt gaan dan louter herhalen. Natuurlijk maak je aan het eind een presentatie waarin je laat zien hoe je bepaalde cirkelplaatjes kunt maken.

terug naar boven

Wet van Benford

download de opdracht, gegevens.zip (rechtsklik, kies ‘bewaar als’ en vervang .doc door .zip))

  • Verrijkend: statistiek en kans, meetkundige rij, gebruik van de logaritme, onver­wachte fenomenen en toepassingen
  • Voorkennis:
    • gebruik van Excel (beginniveau)
    • kansen als percentages, verdelingen
    • de logaritme
    • rekenen met machten en ander getalrijen
    • inzicht in ons talstelsel

Bij deze opdracht onderzoek je bewering die niet iedereen gelooft: dat het eerste cijfer van zomaar een getal uit de krant 30% kans heeft een 1 te zijn. Voor je onderzoek naar deze bewering gebruik je bestanden zo­als de huisnummers van leerlingen, inwoneraantallen van de gemeenten van Nederland.

In de opdracht word je op het spoor gezet van mogelijke verklaringen en toepassingen maar je kunt (internet!) ook veel extra informatie zelf vinden en veel eigen creativiteit ge­bruiken. Tot slot presenteer en verklaar je dit verschijnsel aan je medeleerlingen die het nog niet kennen.

terug naar boven

Extreem

download de opdracht (pdf)

  • Herhalend: differentiëren

Extreem koud, extreem warm, extreem veel, …, extremisme. Bij extremen gaat het over uitersten. Over maxima en minima.
In  de  praktijk  van  het  dagelijks  leven  kom  je  soms  vragen  tegen  zoals:  “wat  zijn  de afmetingen van een doos zodat ik zo weinig mogelijk karton nodig heb?” of “hoe ziet de dakgoot er uit die het meeste water kan afvoeren?”
Bij  het  vinden  van  maxima  en  minima  (extremen  of  uiterste  waarden)  is  de  afgeleide functie een buiten gewoon krachtig hulpmiddel, zoals je in opgave 1 t/m 10 zult ervaren.
Werk in een groep van twee of drie. Zorg dat je in ieder geval aan opdracht 11 toekomt: als afronding van deze keuzeopdracht moet je je resultaten op de een of andere manier aan je docent en je klasgenoten presenteren. Je kunt bijvoorbeeld een poster maken met de  uitwerking  van  een  moeilijke  som  maken.  Of  een  powerpoint  presentatie  over  nieuw ‘extreem’ voorbeeld dat je zelf hebt bedacht.
Heb  je  tijd  over,  maak  dan  ook  de  opgaven  12  t/m  14  die  veel  creativiteit  van  je verwachten.

terug naar boven